La isla de los mentirosos
Para empezar vamos a dar por supuesto que la primera respuesta es verdadera, entonces tiene que ser sábado, pero al ser sábado tendría que mentir, por lo tanto, es un día que miente. Después le contesta que mañana es miércoles, entonces hay que descartar la posibilidad de que fuera martes por que sino estaría diciendo la verdad, por lo tanto la única posibilidad que queda es que sea jueves.
Las vacas de la vaquería
Voy a poner como "x" la cantidad de leche que da una vaca negra en un día, e "y" la cantidad de leche de la marrón. Entonces hay que poner una igualdad así:5 días * (4 (vacas negras) x + 3 (vacas marrones) y ) = 4 días * (3 (vacas negras) x + 5 (vacas marrones) y) ----------> 5(4x+3y)=4(3x+5y)
Resolviendo la ecuación queda:
8x=5y
Por lo tanto las vacas marrones dan más leche porque con menos cantidad de vacas dan la misma cantidad de leche.
Averigua el dígito
Vamos a llamar al número ab (a es la cifra de las decenas y b la de las unidades).
Bien, entonces, según el enunciado, el producto de las cifras mas la suma de ambas cifras es el propio número, así que vamos a crear una ecuación que corresponda al enunciado:
ab+a+b=10a+b ---------------> (es 10a porque "a" corresponde a las decenas)
Resolviendo la ecuación se llega a:
b=9, por lo tanto la cifra de las unidades es 9.
Nota: no se puede obtener la cifra de las decenas debido a que se necesita otra ecuación para sustituir "b" y conseguir la cifra de las decenas. Así que da igual cual sea la cifra de las decenas porque va a cumplir la anterior expresión.
Escalera de cubos
La escalera en sí es una sucesión donde el número de niveles es cada término de la sucesión. Primero vamos a calcular el número de caras que hay en las caras interiores de la escalera. Fijándonos en la figura hay que sumar 1+2+3+...+(n-1) ya que el primer cubo no tiene caras interiores. Para hacer esto hay que añadir otra suma igual y reorganizarla así:
S=1+2+3+4+...+(n-1)
S=(n-1)+(n-2)+...+4+3+2+1
Entonces sumamos las dos sumas y llegamos a:
2S=(n-1)(n+n+n+...+n) , n-1 veces ya que en la anterior suma había n-1 términos.
Transponiendo términos y simplificando se llega a
S=((n-1)n)/2 -------------->S=(n^2+n)/2
y como hay dos caras interiores se multiplica por 2 y se queda en
S=n^2+n
Dejando esto un poco de lado, ahora vamos a calcular las caras de los cubos de la "escalera" en sí.
Solo hay que multiplicar 2 (caras de cada cubo) por el numero de niveles menos 1 (porque el cubo superior no cuenta) y luego multiplicar otra vez por 2 porque hay dos "escaleras" y entonces queda así:
S=4(n-1).
Entonces se suman las ecuaciones anteriores mas 3 (caras del cubo superior) y la suma de todas las caras de la escalera es:
S=n^2+3n-1
Para calcular las caras que te pide el problema solo hay que sustituir "n" por los niveles de problema.
Midiendo cuerdas
Supongamos que la cuerda tiene un metro mas, entoces lo que mide la cuerda es multiplo de 2,3,4,5 y 6. Solo hay que hace los multiplos comunes de 2,3,4,5 y 6. En este caso los multiplos son: 60, 120, 180, ... Y como el problema nos dice que la cuerda es menor de 100 mts. la única solución que nos sirve es 60 y como le hemos sumado un metro antes, pues la cuerda mide 59 mts.
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